L'intégration discrete, ou numérique, est une technique d'approximation numérique des solutions d'equations différentielles. Il existe différentes méthodes. Dans ce document, \(h\) est le pas.

Méthode d'Euler

C'est la méthode la plus simple d'intégration numérique. Elle nécessite \(t_0,\space y(t_0)\) et \(y'(t, y(t))\). De la, c'est une méthode itérative. Voici la méthode :
On pose que \(y'(t_0) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h}\). On obtiens donc, par récursion les relations suivantes :
1. \(y_1 = y_0 + h \times y'(t_0, y_0)\)
2. \(y_2 = y_1 + h \times y'(t_0 + h, y_1)\)
3. \(y_3 = ....\)

Méthode inverse d'Euler

Cette méthode est un peu plus complexe car nécessite la résolution d'une équation pour obtenir \(y_{n+1}\). On l'appel méthode inverse car on approxime la dérivée a gauche, au lieu d'a droite. On considère donc \(y'(t) \approx \frac{y(t) - y(t-h)}{h}\), de la on tire la relation suivante :
\[ y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1}, y_{n+1}) \]
Il faut alors résoudre pour \(y_{n+1}\). Des méthodes comme la méthode de Newton peuvent être utilisées. Cette méthode est souvent plus stable que la méthode directe, mais plus lourde en calcul.

Méthode Runge-Kutta

Video sur RK4
Soit les valeurs de départ suivantes :
\[ y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 \]
L'algorithme est donc comme suit :
\[ \begin{align} y_{n+1} & = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k4) \\ k_1 & = f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n+h \frac{k_1}{2}) \\ k_3 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n+h \frac{k_2}{2}) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \end{align} \]
Cette méthode est plus lourde que la méthode d'Euler, mais est aussi beaucoup plus précise et stable. La généralisation de cette méthode donne la relation suivante :
\[ \begin{align} y_{n+1} &= y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i \end{align} \]
où
\[ \begin{align} k_i &= f(t_n + c_i, y_n + \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}k_j) \end{align} \]
Pour calculer \(a\), \(b\) et \(c\), voir Runge-Kutta.

Intégration exponentielle de premier ordre

Ici, on suppose que l'equation est de la forme suivante :
Soit \(A\) un scalaire et \(N(y)\) un terme non-linéaire :
\[ y'(t)=-Ay + N(y) \]
Pour intégrer, on considère \(N(y)\) constant sur un interval \(h\). On obtiens alors, par intégration :
\[ \displaystyle y_{n+1} = e^{-Ah} + A^{-1}(1-e^{-Ah}) N(y(t_n)) \]